Statistik1 - 5 Daten verbildlichen

5.1 Lernsteuerung

5.1.1 Standort im Lernpfad

Abb. Abbildung 1.2 zeigt den Standort dieses Kapitels im Lernpfad und gibt damit einen Überblick über das Thema dieses Kapitels im Kontext aller Kapitel.

5.1.2 Lernziele

Sie können erläutern, wann und wozu das Visualisieren statistischer Inhalte sinnvoll ist.
Sie kennen typische Arte von Datendiagrammen.
Sie können typische Datendiagramme mit R visualisieren.
Sie können zentrale Ergebnisse aus Datendiagrammen herauslesen.

5.1.3 Benötigte R-Pakete

library(tidyverse)
library(easystats)
library(DataExplorer)  # nicht vergessen zu installieren

5.1.4 Benötigte Daten

mariokart <- read.csv("https://vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/csv/openintro/mariokart.csv")

5.1.5 Wozu das alles?

. Quelle: GIPHY

🥷 Wir müssen die Galaxis verteidigen, Kermit

🐸 Schlock

5.2 Ein Dino sagt mehr als 1000 Worte

Es heißt, ein Bild sage mehr als 1000 Worte. Schon richtig, aber ein Dinosaurier sagt auch mehr als 1000 Worte, s. Abbildung 5.1.

Abbildung 5.1: Dinosaurier und Kreis: Gleiche statistischen Kennwerte

Quelle

In Abbildung 5.1 sieht man zwei verschiedene “Bilder”, also Datensätze: einmal einen Dino und einmal einen Kreis. Obwohl die Bilder grundverschiedene sind, sind die zentralen statistischen Kennwerte (praktisch) identisch.

In die gleiche Bresche schlägt “Anscombes Quartett”, s. Abbildung 5.2: Es zeigt 4 Datensätze, in denen die zentralen Statistiken fast identisch sind, also Mittelwerte, Streuungen, Korrelationen. Aber die Streudiagramme sind grundverschieden. Anscombes Beispiel zeigt (zugespitzt): Eine Visualisierung enthüllt, was der Statistik (als Kennzahl) verhüllt bleibt.

Abbildung 5.2: Anscombes Quartet: Gleiche statistischen Kennwerte in vier Datensätzen

Quelle

Unter visueller Cortex ist sehr leistungsfähig. Wir können ohne Mühe eine große Anzahl an Informationen aufnehmen und parallel verarbeiten. Aus diesem Grund sind Datendiagramme eine effektive und einfache Art, aus Daten Erkenntnisse zu ziehen.

Tipp

Nutzen Sie Datendiagramme umfassend; sie sind einfach zu verstehen und doch sehr mächtig.

5.2.1 Datendiagramm

Ein Datendiagramm (kurz: Diagramm) ist ein Diagramm, das Daten und Statistiken zeigt, mit dem Zweck, Erkenntnisse daraus zu ziehen.

Beispiel 5.1 (Aus der Forschung: Ein aufwändiges (und ansprechendes) Datendiagramm) Hier finden Sie ein Beispiel für ein Datendiagramm, das mit R erzeugt wurde (Scherer u. a. 2019).

5.2.2 Ein Bild hat nicht so viele Dimensionen

Abbildung 5.3 zeigt ein Bild mit mehreren Variablen. Wie man (nicht) sieht, wird es langsam unübersichtlich. Offenbar kann man in einem Bild nicht beliebig viele Variablen reinquetschen. Die “Dimensionalität” eines Diagramms hat ihre Grenzen, vielleicht bei 4-6 Variablen.

Abbildung 5.3: Ein Diagramm kann nur eine begrenzte Anzahl von Variablen zeigen

Möchten wir den Zusammenhang von vielen Variablen, z.B. mehr als 5, verstehen, kommen wir mit Bildern nicht weiter. Dann brauchen wir andere Werkzeuge: statistics to the rescue.

Hinweis

Bei klaren Zusammenhängen und wenig Variablen braucht man keine (aufwändige) Statistik. Ein Bild (Datendiagramm) ist dann (oft) ausreichend. Man könnte sagen, dass es Statistik nur deshalb gibt, weil unser Auge mit mehr als ca. 4-6 Variablen nicht gleichzeitig umgehen kann.

Übungsaufgabe 5.1 Wie viele Variablen sind in Abbildung 5.3 dargestellt?¹

Eine weitere Möglichkeit, mehr Variablen in einem Diagramm unterzubringen, ist die “Flatlands” zu verlassen, also von 2D auf 3D zu wechseln, s. Abbildung 5.4.

Abbildung 5.4: Eine 3D-Karte der Erde

Quelle

Etwas weniger spektakulär, aber näher an der Datenanalyse ist Abbildung 5.5.

Abbildung 5.5: 3D-Punktediagramm zum Datensatz mariokart

Leider ist Abbildung 5.5 nicht sehr aufschlussreich.

Daraus kann man zweierlei lernen:

Nicht jedes Datendiagramm (ist auf Anhieb) informativ.
Die Daten müssen ggf. erst umgeformt werden.

Übungsaufgabe 5.2 Es gibt einen Extremwert im Diagramm. Finden Sie ihn?

5.3 Nomenklatur von Datendiagrammen

Tabelle 5.1 zeigt eine - sehr kurze Nomenklatur - an Datendigrammen.²

Tabelle 5.1: Ein (sehr kurze) Nomenklartur von Datendiagrammen
Erkenntnisziel	qualitativ	quantitativ
Verteilung	Balkendiagramm	Histogramm und Dichtediagramm
Zusammenhang	gefülltes Balkendiagramm	Streudiagramm
Unterschied	gefülltes Balkendiagramm	Boxplot

Hinweis

Wir arbeiten hier mit dem Datensatz mariokart. Hilfe bzw. ein Data-Dictionary (Codebook) finden Sie hier.

5.4 Verteilungen verbildlichen

5.4.1 Verteilung: nominale Variable

Definition 5.1 (Verteilung) Eine (Häufigkeits-)Verteilung einer Variablen \(X\) schlüsselt auf, wie häufig jede Ausprägung von \(X\) ist.\(\square\)

Beispiel 5.2 Tabelle 5.2 zeigt die Häufigkeitsverteilung von cond aus dem Datensatz mariokart. Die Variable hat 5 Ausprägungen; z.b. kommt die Ausprägung new 59 mal vor.\(\square\)

Tabelle 5.2:

Häufigkeitsverteilung von cond aus dem Datensatz mariokart

Zugegeben, das Datendiagramm von cond ist nicht so aufregend, s. Abbildung 5.6. Wie man sieht, besteht so ein Diagramm als Balken, daher heißt es Balkendiagramm. Man kann so ein Diagramm um 90° drehen, keine Ausrichtung ist unbedingt besser als die andere.

Definition 5.2 (Balkendiagramm) Ein Balkendiagramm eignet sich, um Häufigkeiten darzustellen

Abbildung 5.6: Häufigkeitsverteilung der Variable `cond`

Es gibt viele Methoden, sich mit R ein Balkendiagramm ausgeben zu lassen. Eine einfache, komfortable ist die mit dem Paket DataExplorer, s. Abbildung 5.7.

Zuerst importieren wir die Daten, s. Listing 5.1.

Listing 5.1: Mariokart-Daten importieren von einer Webseite

mariokart <- read.csv("https://vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/csv/openintro/mariokart.csv")

Außerdem nicht vergessen, das Paket DataExplorer zu starten, s. Listing 5.2.³ In diesem Paket “wohnen” die Befehle, die wir zum Erstellen der Datendiagramme nutzen werden.

Listing 5.2: Wir starten das R-Paket DataExplorer

library(DataExplorer)

Listing 5.3: Syntax zur Erstellung eines Histogramms

mariokart %>% 
  select(total_pr) %>% 
  filter(total_pr < 100) %>%  # ohne Extremwerte
  plot_histogram()

Listing 5.4: Syntax zur Erstellung eines Balkendiagramms

mariokart %>% 
  select(cond) %>% 
  plot_bar()

Die Syntax ist in Listing 5.4 abgedruckt. Übersetzen wir die Syntax ins Deutsche:

Nimm den Datensatz mariokart *und dann*
  wähle die Spalte cond *und dann*
  zeichne ein Balkendiagramm.

Übungsaufgabe 5.3 (Spalten wählen für das Balkendiagramm) Hätten wir andere Spalten ausgewählt, so würde das Balkendiagramm die Verteilung jener Variablen zeigen. Ja, Sie können auch mehrere Variablen auf einmal auswählen. Probieren Sie das doch mal aus!

Abbildung 5.7: Balkendiagramm mit dem R-Paket `DataExplorer`

5.4.2 Verteilung: quantitative Variable

5.4.2.1 Histogramm

Bei einer quantitativen Variablen mit vielen Ausprägungen wäre ein Balkendiagramm nicht so aussagekräftig, s. Abbildung 5.8. Es gibt einfach zu viele Ausprägungen.

Abbildung 5.8: Balkendiagramm für `total_pr`

Die Lösung: Wir reduzieren die Anzahl der Ausprägungen, in dem wir auf ganze Dollar runden. Oder, um noch weniger Ausprägungen zu bekommen, können wir einfach Gruppen definieren, z.B.

Gruppe 1: 0-5 Dollar
Gruppe 2: 6-10 Dollar
Gruppe 2: 11-15 Dollar …

In Abbildung 5.9 sind z.B. die Ausprägungen des Verkaufspreis (total_pr) in in Gruppen der Breite von 5 Dollar aufgeteilt worden. Zusätzlich sind noch die einzelnen Werte als schwarze Punkte gezeigt.

Abbildung 5.9: Balkendiagramm für `total_pr`

Definition 5.3 (Histogramm) Ein Histogramm ist ein Diagramm zur Darstellung der Häufigkeitsverteilung einer quantitativen Variablen. Die Daten werden in Gruppen (Klassen) eingeteilt, die dann durch einen Balken (pro Klasse) dargestellt sind. Die Höhe der Balken zeigt die Häufigkeit der Daten in dieser Gruppe/in diesem Balken⁴.

Es gibt keine klare Regel, in wie viele Balken ein Histogramm gegliedert sein sollte. Nur: Es sollten nicht sehr viele und nicht sehr wenig sein, s. Abbildung 5.10 links bzw. Abbildung 5.10, rechts.

Zur Erstellung eines Histogramms können Sie die Syntax Listing 5.5 nützen, vgl. Abbildung 5.11, links.

Listing 5.5: Syntax zur Erstellung eines Histogramms

mariokart %>% 
  select(total_pr) %>% 
  filter(total_pr < 100) %>%  # ohne Extremwerte
  plot_histogram()

5.4.2.2 Dichtediagramm

Abbildung 5.12 fügt zu Abbildung 5.9 ein Dichtediagramm hinzu (rote Linie). Ein Dichtediagramm ähnelt einem “glattgeschmirgeltem” Histogramm.

Definition 5.4 (Dichtediagramm) Ein Dichtediagramm visualisiert die Verteilung einer stetigen Variablen. Im Gegensatz zum Histogramm wird der Verlauf der Kurve geglättet, so kann Rauschen (Zufallsschwankung) besser ausgeblendet werden.⁵

Abbildung 5.12: Balkendiagramm für `total_pr`

Übungsaufgabe 5.4 Erstellen Sie das Diagramm Abbildung 5.11, rechtes Teildiagramm!⁶\(\square\)

5.4.2.3 Eigenschaften von Verteilungen

Verteilungen unterscheiden sich z.B. in ihrem “typischen” oder “mittleren” Wert⁷ und/oder in ihrer Streuung, s.@fig-vert-dif.

Im Histogramm (oder Dichtediagramm) erkennt man den mittleren Wert an der Lage des “Berggipfel”; so sind die “Berggipfel” in Abbildung 5.13 unterschiedlich weit links oder rechts auf der X-Achse positioniert. Man erkennt im Histogramm die Streuung an der “Breite des Berges”, s. Abbildung 5.13.

(a) Unterschiedliche Mittelwerte, etwa gleiche Streuung

(Diagramme von) Verteilungen können sich auch in ihrer Schiefe unterscheiden: Verteilungen können symmetrisch oder schief (nicht symmetrisch) sein, s. Abbildung 5.14.

Abbildung 5.15 zeigt verschiedene Formen von Verteilungen.

Abbildung 5.15: Verschiedene Verteilungsformen

Quelle: ifes/FOM Hochschule

5.4.3 Normalverteilung

Eine Normalverteilung ist eine bestimmte Art von Verteilung einer quantitativen Variablen. Aber sie ist besonders wichtig, und daher hier herausgestellt.

Eine Normalverteilung sehen Sie in Abbildung 5.14, links. Sie hat u.a. folgende Eigenschaften:

symmetrisch
glockenförmig
stetig
eingipflig (unimodal)
Mittelwert, Median und Modus sind identisch

Beispiel 5.3 Beispiele für normalverteilte Variablen sind Körpergröße von Männern oder Frauen, IQ-Werte, Prüfungsergebnisse, Messfehler, Lebensdauer von Glühbirnen, Gewichte von Brotlaiben, Milchproduktion von Kühen, Brustumfang schottischer Soldaten (Lyon 2014).\(\square\)

Die Normalverteilung ist von hoher Bedeutung, da diese Verteilung unter (recht häufigen) Bedingungen zwangsläufig ergeben muss. Wenn sich eine Variable als Summe mehrerer, unabhängiger, etwa gleich starker Summanden, dann kann man erwarten, dass sich diese Variable normalverteilt. Dieses Phänomen kann man gut anhand des Galton-Bretts veranschaulichen.

Eine Normalverteilung lässt sich exakt beschreiben anhand zweier Parameter: ihres zentralen Werts (Mittelwerts), \(\mu\) und ihrer Streuung (Standardabweichung), \(\sigma\), s. Abbildung 5.16.

Abbildung 5.16: Verschiedene Normalverteilungen, die sich in Mittelwert und Streuung unterscheiden

Kennt man diese beiden Parameter \(\mu\) und \(\sigma\), so kann man einfach angeben, welcher Anteil der Fläche sich in einem bestimmten Bereich befindet, s. Abbildung 5.17.

Davon leitet sich die “68-95-99-Prozentregel” ab:

\(68\,\%\) der Werte im Bereich \(\mu\pm 1 \cdot \sigma\)
\(95\,\%\) der Werte im Bereich \(\mu\pm 2 \cdot \sigma\)
\(99{,}7\,\%\) der Werte im Bereich \(\mu\pm 3 \cdot \sigma\)

Abbildung 5.17: Die Flächeninhalte (Wahrscheinlichkeitsmasse) einer Normalverteilung in Abhängigkeit der SD-Einheiten

By Ainali - Own work, CC BY-SA 3.0

5.5 Zusammenhänge verbildlichen

5.5.1 Zusammenhang: nominale Variablen

Beispiel 5.4 (Beispiele für Zusammenhänge bei nominalen Variablen)

Hängt Berufserfolg (Führungskraft ja/nein) mit dem Geschlecht zusammen?
Hängt der Beruf des Vaters mit dem Schulabschluss des Kindes (Abitur, Realschule, Mittelschule) zusammen?
Gibt es einen Zusammenhang zwischen Automarke und politische Präferenz einer Partei? \(\square\)

Sagen wir, Sie arbeiten immer noch beim Online-Auktionshaus und Sie fragen sich, ob ein Produktfoto wohl primär bei neuwertigen Produkten beiliegt, aber nicht bei gebrauchten? Dazu betrachten Sie wieder die mariokart-Daten, s. Abbildung 5.18.

(a) Es findet sich ein Zusammenhang von Foto und Zustand in den Daten

Tatsächlich: Es findet sich ein Zusammenhang zwischen der Tatsache, ob dem versteigerten Produkt ein Foto bei lag und ob es neuwertig oder gebraucht war (Abbildung 5.18, links). Bei neuen Spielen war fast immer (ca. 90%) ein Foto dabei. Bei gebrauchten Spiel immerhin bei gut der Hälfte der Fälle.

Anders sieht es aus für die Frage, ob ein (oder mehrere) Lenkräder dem Spiel beilagen (oder nicht) in Zusammenhang mit der Fotofrage Hier gab es fast keinen Unterschied zwischen neuen und alten Spielen, was die Frage nach “Foto des Produkts dabei” betraf (Abbildung 5.18, rechts), der Anteil betrug jeweils ca. 70%.

Anders gesagt: Unterscheiden sich die “Füllhöhe” in den Diagrammen, so gibt es einen Unterschied hinsichtlich “Foto ist dabei” zwischen den beiden Gruppen (linker vs. rechter Balken). Unterscheiden sich die Anteile in den Gruppen (neuwertige vs. gebrauchte Spiele), so spielt z.B. die Variable “Foto dabei” offenbar eine Rolle. Dann hängen Neuwertigkeit und “Foto dabei” also zusammen!

So können Sie sich in R ein gefülltes Balkendiagramm ausgeben lassen, s. Abbildung 5.19.

mariokart %>% 
  select(cond, stock_photo) %>% 
  plot_bar(by = "cond")

Abbildung 5.19: Ein gefülltes Balkendiagramm zur Untersuchung eines Zusammenhangs zwischen nominalskalierter Variablen

Hinweis

Gefüllte Balkendiagramme eignen sich zur Analyse eines Zusammenhangs zwischen nominalskalierten Variablen. Allerdings sollte eine der beiden Variablen nur zwei Ausprägungen aufweisen, sonst sind die Zusammenhänge nicht mehr so gut zu erkennen.\(\square\)

5.5.2 Zusammenhang: metrisch

Den (etwaigen) Zusammenhang zweier metrischer Variablen kann man mit einem Streudiagramm visualisieren (engl. scatterplot). Abbildung 5.20 links untersucht den Zusammenhang des Einstiegpreises (X-Achse) und Abschlusspreises (Y-Achse) von Geboten bei Versteigerungen des Computerspiels Mariokart. In dem Diagramm ist eine Ellipse ergänzt, um die Art des Zusammenangs besser zu verdeutlichen: Es handelt sich um einen gleichsinnigen (positiven) Zusammenhang: Je höher der Startpreis, desto höher der Abschlusspreis, zumindest tendenziell. Außerdem ist eine “Trendgerade” (Regressionsgerade) in blau eingezeichnet. Diese Gerade liegt “mittig” in den Daten (wir definieren dies später genauer). Diese Trendgerade gibt Aufschluss über “typische” Werte: Welcher Y-Wert ist “typisch” für einen bestimmten X-Wert?

Abbildung 5.20 rechts untersucht den Zusammenhang zwischen Anzahl der Gebote (X-Achse) und Abschlusspreises (Y-Achse). Es handelt sich um einen negativen Zusammenhang: Je mehr Gebote, desto geringer der Abschlusspreis.

(a) positiver, mittelstarker Zusammenhang

Abbildung 5.21 bietet einen Überblick über verschiedene Beispiele von Richtung und Stärke von Zusammenhängen.

Abbildung 5.21: Überblick über verschiedene Beispiele von Streudiagrammen

Quelle: Aufbauend auf FOM/ifes, Norman Markgraf

In Abbildung 5.21 ist für jedes Teildiagramm eine Zahl angegeben: der Korrelationskoeffizient. Diese Statistik quantifiziert Richtung und Stärke des Zusammenhangs (mehr dazu in Kap. ?sec-zusammenhaenge). Ein positives Vorzeichen steht für einen positiven Zusammenhang, ein negatives Vorzeichen für einen negativen Zusammenhang. Der (Absolut-)Wert gibt die Stärke des linearen Zusammenhangs an (Cohen 1992):

±0: Kein Zusammenhang
±0.1: schwacher Zusammenhang
±0.3: mittlerer Zusammenhang
±0.5: starker Zusammenhang
±1: perfekter Zusammenhang

Abbildung 5.22 hat die gleiche Aussage, ist aber plakativer, indem Stärke (schwach, stark) und Richtung (positiv, negativ) gegenübergestellt sind.

Abbildung 5.22: Überblick über starke vs. schwache bzw. positive vs. negative Zusammenhänge

Man sieht in Abbildung 5.21 und Abbildung 5.22, dass ein negativer Korrelationskoeffizient mit einer absinkenden Trendgerade ⁸ (blaue Linie) einhergeht. Umgekehrt geht ein positiver Trend mit einer ansteigenden Trendgerade einher. Zweitens erkennt man, dass starke Zusammenhänge mit einer schmaler Ellipse einhergehen und schwache Zusammenhänge mit einer breiten Ellipse einhergehen.

Definition 5.5 (Richtig und Stärke eines Zusammenhang) Gleichsinnige (positive) Zusammenhänge erkennt man an aufsteigenden Trendgeraden; gegensinnigen (negative) Zusammenhänge an absteigenden Trendgeraden:

➕ : ⬆️
➖ : ⬇️

Starke Zusammenhänge erkennt man an schmalen Ellipsen (“Baguette”); schwache Zusammenhänge an breiten Ellipsen (“Torte”):

schwach: 🥮
stark: 🥖

\(\square\)

Vorsicht

Ein Zusammenhang der Art “je mehr X, desto mehr Y” ist linear. Lineare Zusammenhänge erkennt man im Diagramm an einer Geraden bzw. inwieweit sich die Punkte an einer Geraden “anschmiegen”. Natürlich könnte man auch nicht-lineare Zusammenhänge untersuchen, aber der Einfachheit halber begnügen wir uns mit linearen.\(\square\)

Beispiel 5.5 Sie arbeiten nach wie vor bei einem Online-Auktionshaus, und machmal gehört Datenanalyse zu Ihren Aufgaben. Daher interessiert Sie, ob welche Variablen mit dem Abschlusspreis (total_pr) im Datensatz mariokart zusammenhängen. Sie verbildlichen die Daten mit R, und zwar nutzen Sie das Paket DataExplorer. Starten Sie dieses Paket, s. Listing 5.2. Außerdem müssen wir noch die Daten importieren, falls noch nicht getan, s. Listing 5.1.

So, jetzt kann die eigentliche Arbeit losgehen. Da Sie sich nur auf metrische Variablen konzentrieren wollen, wählen Sie (mit select) nur diese Variablen aus. Dann weisen Sie R an, einen Scatterplot zu malen (plot_scatterplot) und zwar jeweils den Zusammenhang einer der gewählten Variablen mit dem Abschlusspreis (total_pr), da das die Variable ist, die Sie primär interessiert. Das Ergebnis sieht man in Abbildung 5.23.

mariokart %>% 
  select(duration, n_bids, start_pr, ship_pr, total_pr, seller_rate, wheels) %>% 
  plot_scatterplot(by = "total_pr")

Abbildung 5.23: Der Zusammenhang metrischer Variablen mit Abschlusspreis

Aha… Was sagt uns das Bild? Hm. Es scheint einige Extremwerte zu geben, die dafür sorgen, dass der Rest der Daten recht zusammengequetscht auf dem Bild erscheint. Vielleicht sollten Sie solche Extremwerte lieber entfernen? Sie entscheiden sich, nur Verkäufe mit einem Abschlusspreis von weniger als 100 Dollar anzuschauen (total_pr < 100). Das Ergebnis ist in Abbildung 5.24 zu sehen.

mariokart2 <-
  mariokart %>% 
  filter(total_pr < 100)

mariokart2 %>% 
  select(duration, n_bids, start_pr, ship_pr, total_pr, seller_rate, wheels) %>% 
  plot_scatterplot(by = "total_pr")

Abbildung 5.24: Der Zusammenhang metrischer Variablen mit Abschlusspreis

Ohne Extremwerte schält sich ein deutlicheres Bild (Abbildung 5.24) hervor: Startpreis (start_pr) und Anzahl der Räder (wheels) scheinen am stärksten mit dem Abschlusspreis zusammenzuhängen.

Das Argument by = "total_pr" bei plot_scatterplot weist R an, als Y-Variable stets total_pr zu verwenden. Alle übrigen Variablen kommen jeweils einmal als X-Variable vor.\(\square\)

5.6 Unterschiede verbildlichen

5.6.1 Unterschied: nominale Variablen

Gute Nachrichten: Für nominale Variablen bieten sich Balkendiagramme sowohl zur Darstellung von Zusammenhängen als auch von Unterschieden an. Genau genommen zeigt ja Abbildung 5.18 (links) den Unterschied zwischen neuen und gebrauchten Spielen hinsichtlich der Frage, ob Photos beiliegen. Und wie man in Abbildung 5.18 sieht, ist der Anteil der Spiele mit Foto bei den neuen Spielen höher als bei gebrauchten Spielen.

5.6.2 Unterschied: quantitative Variablen

Eine typische Analysefrage ist, ob sich zwei Gruppen hinsichtlich einer metrischen Zielvariablen deutlich unterscheiden. Genauer gesagt untersucht man z.B. oft, ob sich die Mittelwerte der beiden Gruppen zwischen der Zielvariablen deutlich unterscheiden. Das hört sich abstrakt an? Am besten wir schauen uns einige Beispiele an, s. Abbildung 5.25.

Das linke Teildiagramm von Abbildung 5.25 zeigt das Histogramm von total_pr, getrennt für neue und gebrauchte Spiele, vgl. Abbildung 5.11. Das rechte Teildiagramm zeigt die gleichen Verteilungen, aber mit einer vereinfachten, groberen Darstellungsfrom, den Boxplot.

Das linke Teildiagramm von Abbildung 5.26 zeigt den Unterschied in den Verteilungen von total_pr, einmal für die neuen Computerspiele (cond == new) und einmal für gebrauchte Spiele (cond == used).

Was ein “deutlicher”⁹ Zusammenhang ist, ist keine statistische, sondern inhaltliche Frage, die man mit Sachverstand zum Forschungsgegenstand beantworten muss.

Definition 5.6 (Boxplot) Der Boxplot ist eine Vereinfachung bzw. eine Zusammenfassung eines Histograms.¹⁰ Damit stellt der Boxplot auch eine Verteilung (einer metrischen Variablen) dar.\(\square\)

In Abbildung 5.27 sieht man die “Übersetzung” von Histogramm (oben) zu einem Boxplot (unten).

Abbildung 5.27: Übersetzung eines Histogramms zu einem Boxplot

Schauen wir uns die “Anatomie” des Boxplots näher an:

Der dicke Strich in der Box zeigt den Median der Verteilung
Die Enden der Box zeigen das 1. Quartil bzw. das 3. Quartil. Damit zeigt die Breite der Box die Streuung der Verteilung an, genauer gesagt die Streuung der inneren 50% der Beobachtungen. Je breiter die Box, desto größer die Streuung. Die Breite der Box nennt man auch den Interquartilsabstand (IQR), da er die Strecke zwischen den Quartilen bemisst.
Die “Antennen” des Boxplots zeigen die Streuung in den kleinsten 25% der Werte (linke Antenne) bzw. die Streuung der größten 25% der Werte (rechte Antennen). Je länger die Antenne, desto größer die Streuung.
Falls es aber Extremwerte gibt, so sollten die lieber einzeln, separat, außerhalb der Antennen gezeigt werden. Daher ist die Antennenlänge auf die 1,5-fache Länge der Box beschränkt. Werte die außerhalb dieses Bereichs liegen (also mehr als das 1,5-fache der Boxlänge von Q3 entfernt sind) werden mittels eines Punktes dargestellt.
Liegt der Median-Strich in der Mitte der Box, so ist die Verteilung symmetrisch (bezogen auf die inneren 50% der Werte), liegt der Median-Strich nicht in der Mitte der Box, so ist die Verteilung nicht symmetrisch (schief). Gleiches gilt für die Antennenlängen: Sind die Antennen gleich lang, so ist der äußere Teil der Verteilung symmetrisch, andernfalls schief.

Beispiel 5.6 In einer vorherigen Analyse haben Sie den Zusammenhang von Abschlusspreis und der Anzahl der Lenkräder untersucht. Jetzt möchten Sie eine sehr ähnliche Fragestellung betrachten: Wie unterscheiden sich die Verkaufspreise je nach Anzahl der beigelegten Lenkräder? Flink erstellen Sie dazu folgendes Diagramm, Abbildung 5.28, links. Es zeigt die Verteilung des Abschlusspreises, aufgebrochen nach Anzahl Lenkräder (by = "wheels).

Aber ganz glücklich sind Sie mit dem Diagramm nicht: R hat die Variable wheels komisch aufgeteilt. Es wäre eigentlich ganz einfach, wenn R die Gruppen 0, 1, 2, 3 und 4 aufteilen würde. Aber schaut man sich die Y-Achse (im linken Teildiagramm von Abbildung 5.28) an, so erkennt man, dass R wheels als stetige Zahl betrachtet und nicht in ganze Zahlen gruppiert.¹¹ Aber wir möchten jeden einzelnen Wert von wheels (0, 1, 2, 3, 4) als Gruppe verstehen. Mit anderen Worten, wir möchten wheels als nominale Variable definieren. Das kann man mit dem Befehle factor(wheels) erreichen (verpackt in mutate), s. Abbildung 5.28, rechts.

mariokart2 %>% 
  select(total_pr, wheels) %>% 
  plot_boxplot(by = "wheels")

mariokart2 %>% 
  select(total_pr, wheels) %>% 
  mutate(wheels = factor(wheels)) %>% 
  plot_boxplot(by = "wheels")

Sie schlißen aus dem Bild, dass Lenkräder und Preis (positiv) zusammenhängen. Allerdings scheint es wenig Daten für wheels == 4 zu geben. Das prüfen Sie nach:

mariokart2 %>% 
  count(wheels)

Tatsächlich gibt es (in mariokart2) auch für 3 Lenkräder schon wenig Daten, so dass wir die Belastbarkeit dieses Ergebnisses skeptisch betrachten sollten.\(\square\)

5.7 So lügt man mit Statistik

Diagramme werden häufig eingesetzt, um die Wahrheit “aufzuhübschen”.

5.7.1 Achsen manipulieren

Achsen zu stauchen ist ein einfacher Trick, s. Abbildung 5.29.

(a) Oh nein, dramatischer Einbruch des Umsatzes!

Natürlich kann man auch durch “Abschneiden” der Y-Achse einen eindrucksvollen Effekt erzielen, s. Abbildung 5.30.

5.7.2 Scheinkorrelation

Messerli (2012) berichtet von einem Zusammenhang von Schokoloadenkonsum und Anzahl von Nobelpreisen (Beobachtungseinheit: Länder), s. Abbildung 5.31. Das ist doch ganz klar: Schoki futtern macht schlau und Nobelpreise! (?)

Abbildung 5.31: Schokolodenkonsum und Nobelpreise

Leider ist hier von einer Scheinkorrelation auszugehen: Auch wenn die beiden Variablen Schokoladenkonsum und Nobelpreise zusammenhängen, heißt das nicht, dass die Variable die Ursache und die andere die Wirkung sein muss. So könnte auch eine Drittvariable im Hintergrund die gleichzeitige Ursache von Schokoladenkonsum und Nobelpreise sein, etwa der allgemeine Entwicklungsstand des Landes: In höher entwickelten Ländern wird mehr Schokoloade konsumiert und es werden mehr Nobelpreise gewonnen im Vergleich zu Ländern mit geringerem Entwicklungsstand.

5.8 Praxisbezug

Ein, wie ich finde schlagendes Beispiel zur Stärke von Datendiagrammen ist Abbildung 5.32. Das Diagramm zeigt die Häufigkeit von Masern, vor und nach der Einführung der Impfung. Die Daten und die Idee zur Visualisierung gehen auf Panhuis u. a. (2013) zurück. Das Diagramm und weitere finden sich in ähnlicher Form imn Wall Street Journal.

Abbildung 5.32: Häufigkeit von Masern und Impfung in den USA, Lizenz: MIT

Quellcode Datenquelle

In der “freien Wildbahn” findet man häufig sog. “Tortendiagramme”. Zwar sind sie beliebt, doch ist von ihrer Verwendung abzuraten; vgl. auch hier.

5.9 Vertiefung

Mehr zu DataExplorer finden Sie hier.

Eine weitere nützliche Art von Visualisierung sind Karten und Animationen. So zeigt z.B. ?fig-le-world die Veränderung der Lebenserwartung (in Jahren) über die letzten Dekaden.

Animation zur Veränderung der Lebenserwartung

Der Quellcode der Animation ist hier zu finden.

In einigen Situation können Animationen zweckdienlich sein. Außerdem sind sie mitunter nett anzuschauen, s. ?fig-anim1.

Veränderung des Zusammenhangs von Lebenswertung und Bruttosozialprodukt pro Land, gegliedert nach Kontinenten

Natürlich sind der Fantasie keine Grenzen beim Visualisieren gesetzt, so ist etwa diese Animationen ziemlich atemberaubend.

Einen Überblick über verschiedene Typen an Diagrammen, sogar in Form einer systematischen Nomenklatur findet sich bei data-to-vis.

Ein Teil der Diagramm dieses Kapitels wurden mit dem R-Paket ggpubr erstellt. Mit diesem Paket lassen sich einfach ansprechende Datendiagramme erstellen, so lautet die etwa die Syntax von Abbildung 5.26 wie folgt.

library(ggpubr)  # einmalig instalieren nicht vergessen
ggboxplot(mariokart2, x = "cond", y = "total_pr")

Möchte man Mittelwerte vergleichen, so sind Boxplots nicht ideal, da diese ja nicht den Mittelwert, sondern den Median heraustellen. Eine Abhilfe (also eine Darstellung des Mittelwerts) schafft man (z.B.) mit ggpubr, s. Abbildung 5.33.

ggviolin(mariokart2, x = "cond", y = "total_pr",
         add = "mean_sd")

Abbildung 5.33: Vergleich der Verteilungen zweier Gruppen mit Mittelwert und Standardabweichung pro Gruppe hervorgehoben

Ein “Violinenplot” hat die gleiche Aussage wie ein Dichtediagramm: Je breiter die “Violine”, desto mehr Beobachtungen gibt es an dieser Stelle. Weitere Varianten zum Violinenplot mit ggpubr finden sich hier.

Sowohl ggpubr als auch DataExplorer (und viele andere R-Pakete) bauen auf dem R-Paket ggplot2 auf. ggplot2 ist eines der am weitesten ausgearbeiteten Softwarepakete zur Erstellung von Datendiagrammen. Das Buch zur Software (vom Autor von ggplot2) ist empfehlenswert (Wickham 2009). Eine neue, gute Einführung in Datenvisualisierung findet sich bei Wilke (2019). Beide Bücher sind kostenfrei online lesbar.

Übrigens sind Modelle - und Diagramme sind Modelle - immer eine Vereinfachung, lassen also Informationen weg. Manchmal auch wichtige Informationen. Dieses Beispiel zeigt, wie etwa Histogramme wichtige Informationen unter den Tisch fallen lassen.

🧑‍🎓 Ich würde gerne mal Beispiele von schlechten Datendiagrammen sehen.

👨‍🏫 Auf der Seite von Flowingdata findet sich eine nette Liste mit schlechten Datendiagrammen.

5.10 Aufgaben

5.11 Literatur

Cohen, J. 1992. „A power primer“. Psychological Bulletin 112 (1): 155–59.

Lyon, Aidan. 2014. „Why Are Normal Distributions Normal?“ The British Journal for the Philosophy of Science 65 (3): 621–49. https://doi.org/10.1093/bjps/axs046.

Messerli, Franz H. 2012. „Chocolate Consumption, Cognitive Function, and Nobel Laureates“. New England Journal of Medicine 367 (16): 1562–64. https://doi.org/10.1056/NEJMon1211064.

Panhuis, Willem G. van, John Grefenstette, Su Yon Jung, Nian Shong Chok, Anne Cross, Heather Eng, Bruce Y. Lee, u. a. 2013. „Contagious Diseases in the United States from 1888 to the Present“. New England Journal of Medicine 369 (22): 2152–58. https://doi.org/10.1056/NEJMms1215400.

Scherer, Cédric, Viktoriia Radchuk, Christoph Staubach, Sophie Müller, Niels Blaum, Hans‐Hermann Thulke, und Stephanie Kramer‐Schadt. 2019. „Seasonal Host Life‐history Processes Fuel Disease Dynamics at Different Spatial Scales“. Herausgegeben von Ann Tate. Journal of Animal Ecology 88 (11): 1812–24. https://doi.org/10.1111/1365-2656.13070.

Wickham, Hadley. 2009. Ggplot2: Elegant Graphics for Data Analysis. Use R! New York: Springer. https://doi.org/10.1007/978-0-387-98141-3.

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